فعالیت اتحادهای جبری ریاضی دهم - بخش ۱
در سال گذشته با برخی از اتحادهای جبری آشنا شده‌اید. می‌توانید بگویید چرا تساوی $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad (1)$$ اتحاد گفته می‌شود؟
در حقیقت می‌توان $a$ و $b$ را در هر دو طرف با هر دو عدد دلخواه جایگزین کرد و برای دو طرف یک عدد به دست آورد. برای مثال اگر $a = \frac{1}{5}$ و $b = 3$ اختیار شود،
$$ \left( \frac{1}{5} + 3 \right)^2 = \left( \frac{1}{5} \right)^2 + 2 \times \frac{1}{5} \times 3 + 3^2$$
$$ \left( \frac{16}{5} \right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{6}{5} + 9 \Rightarrow \frac{256}{25} = \frac{1}{25} + \frac{150}{25} + \frac{225}{25} \Rightarrow \frac{256}{25} = \frac{256}{25} $$
یا اگر در رابطه‌ی (1) به جای $b$، مقدار $-b$ قرار دهیم، به دست می‌آوریم:
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \quad (2)$$
گاهی هر دو اتحاد (1) و (2) را با هم می‌نویسیم:
$$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \quad (3)$$
اکنون شما می‌توانید اتحادهای دیگری به دست آورید. با محاسبه‌ی $(a+b)^3$ اتحاد دیگری به دست می‌آید که به اتحاد **مکعب مجموع** مشهور است. جاهای خالی را در محاسبه تکمیل کنید:
$$(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b)$$
$$ = (\underline{\hspace{1cm}})(a+b) = \underline{\hspace{1cm}}$$
که با جمع جملات متشابه در دو طرف دوم، اگر درست عمل کرده باشید، به صورت زیر در می‌آید:
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 62 ریاضی دهم - بخش ۱
سلام! این فعالیت یک مرور بر **اتحادهای جبری** مهم و سپس استخراج اتحادهای جدید (مکعب مجموع و مکعب تفاضل) است که در این مقطع نیاز خواهید داشت.
### **توضیح مفهوم اتحاد**
**سوال:** چرا تساوی $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ اتحاد گفته می‌شود؟
**پاسخ:** یک تساوی، زمانی **اتحاد** نامیده می‌شود که به ازای **هر مقدار حقیقی** که برای متغیرهای آن (مانند $a$ و $b$) قرار دهیم، برقرار باشد. به عبارت دیگر، طرف چپ تساوی و طرف راست تساوی، دو نمایش مختلف برای **یک عبارت جبری یکسان** هستند که همیشه با هم برابرند. مثال عددی در صورت سوال نیز این خاصیت را تأیید می‌کند.
### **تکمیل اتحاد مکعب مجموع**
هدف ما محاسبه‌ی $$(a+b)^3$$ است:
**گام ۱: استفاده از اتحاد مربع مجموع**
$$(a+b)^3 = (a+b)^2 (a+b)$$
$$(a+b)^3 = (\mathbf{a^2 + 2ab + b^2})(a+b)$$
**گام ۲: ضرب دو چندجمله‌ای**
حالا هر جمله از پرانتز اول را در هر جمله از پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:
$$(a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^2(a) + a^2(b) + 2ab(a) + 2ab(b) + b^2(a) + b^2(b)$$
$$ = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$$
**گام ۳: جمع جملات متشابه**
جملات $a^2b$ و $ab^2$ را ساده می‌کنیم:
* $a^2b + 2a^2b = 3a^2b$
* $2ab^2 + ab^2 = 3ab^2$
**پاسخ جاهای خالی:**
$$(a+b)^3 = (\mathbf{a^2 + 2ab + b^2})(a+b) = \mathbf{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$$
**اتحاد نهایی (مکعب مجموع):**
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \quad (4)$$
فعالیت اتحادهای جبری ریاضی دهم - بخش ۲
۲. یک بار دیگر $(a-b)^3$ را از راهی دیگر و با استفاده از اتحاد مربع تفاضل، یعنی اتحاد شماره (2)، محاسبه کنید.
$$(a-b)^3 = (a-b)^2 (a-b)$$
$$ = (\underline{\hspace{1cm}})(a-b) = \underline{\hspace{1cm}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 62 ریاضی دهم - بخش ۲
در این بخش، ما اتحاد **مکعب تفاضل** را به دست می‌آوریم که شبیه به مکعب مجموع است، با این تفاوت که علامت جملات به تناوب منفی می‌شود.
### **محاسبه اتحاد مکعب تفاضل**
هدف محاسبه‌ی $$(a-b)^3$$ است:
**گام ۱: استفاده از اتحاد مربع تفاضل**
$$(a-b)^3 = (a-b)^2 (a-b)$$
$$(a-b)^3 = (\mathbf{a^2 - 2ab + b^2})(a-b)$$
**گام ۲: ضرب دو چندجمله‌ای**
هر جمله از پرانتز اول را در هر جمله از پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:
$$ (a^2 - 2ab + b^2)(a-b) = a^2(a) + a^2(-b) - 2ab(a) - 2ab(-b) + b^2(a) + b^2(-b) $$
$$ = a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3 $$
**گام ۳: جمع جملات متشابه**
جملات $a^2b$ و $ab^2$ را ساده می‌کنیم:
* $-a^2b - 2a^2b = -3a^2b$
* $+2ab^2 + ab^2 = +3ab^2$
**پاسخ جاهای خالی:**
$$(a-b)^3 = (\mathbf{a^2 - 2ab + b^2})(a-b) = \mathbf{a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3}$$
**اتحاد نهایی (مکعب تفاضل):**
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
فعالیت اتحادهای جبری ریاضی دهم - بخش ۳
۳. اگر ابتدا طرف دوم هر یک از اتحادهای $4$ گانه‌ی فوق را بنویسیم، مثلاً:
$$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)(a-b)(a-b) \quad (4)$$
می‌گوییم عبارت سمت چپ، یعنی $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ را به حاصل ضرب سه عبارت سمت راست **تجزیه** کرده‌ایم. هر یک از عبارت‌های $a-b$ را در (4) یک **عامل** یا شمارنده‌ی تجزیه می‌نامیم. ممکن است عوامل تجزیه مساوی نباشند. تجزیه‌ی برخی عبارت‌های جبری به دسته‌بندی مناسب جملات و مهارت‌های بیشتری نیاز دارد. به مثال‌های زیر توجه کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 62 ریاضی دهم - بخش ۳
این بخش به معرفی مفهوم بسیار مهم **تجزیه عبارت‌های جبری** می‌پردازد که در واقع عملیات **معکوس** اتحاد و ضرب چندجمله‌ای‌ها است.
### **مفهوم تجزیه عبارت جبری**
**تجزیه** (Factorization) در ریاضیات به معنای نوشتن یک عبارت جبری (مانند یک چندجمله‌ای) به صورت **حاصل‌ضرب چند عبارت دیگر** است که به آن‌ها **عامل‌های تجزیه** گفته می‌شود.
* **اتحاد مکعب تفاضل به عنوان مثال تجزیه:**
$$\mathbf{a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3} = \mathbf{(a-b)(a-b)(a-b)}$$
**توضیح:**
1. **طرف چپ** یک عبارت بازشده و مفصل است.
2. **طرف راست** همان عبارت است که به صورت حاصل‌ضرب سه **عامل ($a-b$)** ساده شده است.
**اهمیت تجزیه:**
* **ساده‌سازی:** تجزیه به شما اجازه می‌دهد تا عبارت‌های جبری و کسرهای گویا را ساده کنید.
* **حل معادله:** اصلی‌ترین کاربرد تجزیه، **حل معادلات چندجمله‌ای** است. وقتی یک عبارت جبری را به عوامل ضربی تجزیه می‌کنید، با قرار دادن آن برابر صفر، می‌توانید ریشه‌ها یا جواب‌های معادله را به راحتی پیدا کنید (زیرا اگر حاصل‌ضرب چند عامل صفر باشد، حداقل یکی از عوامل باید صفر باشد).
* **نکته:** هر عبارتی که به صورت $(a \pm b)^n$ نوشته شود، در واقع به $n$ عامل یکسان تجزیه شده است.
